三角学示例

$i^{- 15}$

解题步骤 1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{i^{15}}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $i^{15}$ 重写为 ${(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)$ 。

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解题步骤 2.1.1

因式分解出 $i^{12}$ 。

$\frac{1}{i^{12} i^{3}}$

解题步骤 2.1.2

将 $i^{12}$ 重写为 ${(i^{4})}^{3}$ 。

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} i^{3}}$

解题步骤 2.1.3

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

解题步骤 2.2

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

解题步骤 2.2.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

解题步骤 2.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{1^{3} (i^{2} \cdot i)}$

$\frac{1}{1^{3} (i^{2} \cdot i)}$

解题步骤 2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1 (i^{2} \cdot i)}$

解题步骤 2.4

将 $i^{2} \cdot i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{i^{2} \cdot i}$

解题步骤 2.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{1}{- 1 \cdot i}$

解题步骤 2.6

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{1}{- i}$

$\frac{1}{- i}$

解题步骤 3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- i}$

解题步骤 3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{i}$

$- \frac{1}{i}$

解题步骤 4

对 $\frac{1}{i}$ 的分子和分母乘以 $i$ 的共轭以使分母变为实数。

$- (\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i})$

解题步骤 5

乘。

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解题步骤 5.1

合并。

$- \frac{1 i}{i i}$

解题步骤 5.2

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{i}{i i}$

解题步骤 5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{i}{i^{1} i}$

解题步骤 5.3.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{i}{i^{1} i^{1}}$

解题步骤 5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{i}{i^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{i}{i^{2}}$

解题步骤 5.3.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- \frac{i}{- 1}$

$- \frac{i}{- 1}$

$- \frac{i}{- 1}$

解题步骤 6

移动 $\frac{i}{- 1}$ 中分母的负号。

$- (- 1 \cdot i)$

解题步骤 7

将 $- 1 \cdot i$ 重写为 $- i$ 。

$- - i$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 i$

解题步骤 9

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$i$

解题步骤 10

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 11

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 12

代入 $a = 0$ 和 $b = 1$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

解题步骤 13

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 1$

解题步骤 14

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

解题步骤 15

因为自变量无定义且 $b$ 为正数，所以复平面上该点的角度为 $\frac{π}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 16

代入 $θ = \frac{π}{2}$ 和 $| z | = 1$ 的值。

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$