三角学示例

$i^{22}$

解题步骤 1

将 $i^{22}$ 重写为 ${(i^{4})}^{5} i^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

因式分解出 $i^{20}$ 。

$i^{20} i^{2}$

解题步骤 1.2

将 $i^{20}$ 重写为 ${(i^{4})}^{5}$ 。

${(i^{4})}^{5} i^{2}$

${(i^{4})}^{5} i^{2}$

解题步骤 2

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

${({(i^{2})}^{2})}^{5} i^{2}$

解题步骤 2.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

${({(- 1)}^{2})}^{5} i^{2}$

解题步骤 2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1^{5} i^{2}$

$1^{5} i^{2}$

解题步骤 3

一的任意次幂都为一。

$1 i^{2}$

解题步骤 4

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$i^{2}$

解题步骤 5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 7

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 8

代入 $a = - 1$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 9

求 $| z |$ 。

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解题步骤 9.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + 1}$

解题步骤 9.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \sqrt{1}$

解题步骤 9.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| z | = 1$

$| z | = 1$

解题步骤 10

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 1})$

解题步骤 11

因为 $\frac{0}{- 1}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $π$ 。

$θ = π$

解题步骤 12

代入 $θ = π$ 和 $| z | = 1$ 的值。

$\cos (π) + i \sin (π)$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$