三角学示例

${(1 + i)}^{8}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$1^{8} + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 8 \cdot 1 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 + 8 i + 28 \cdot 1 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.5

将 $28$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i + 28 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i + 28 \cdot - 1 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.7

将 $28$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.8

一的任意次幂都为一。

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.9

将 $56$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 + 56 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.10

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 8 i - 28 + 56 (i^{2} \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.11

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 + 56 (- 1 \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.12

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 8 i - 28 + 56 (- i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.13

将 $- 1$ 乘以 $56$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.14

一的任意次幂都为一。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.15

将 $70$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.16.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(i^{2})}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.16.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(- 1)}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.16.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.17

将 $70$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.18

一的任意次幂都为一。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.19

将 $56$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.20

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (i^{4} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.21

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.21.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(i^{2})}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.21.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(- 1)}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.21.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (1 i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.22

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.23

一的任意次幂都为一。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.24

将 $28$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.25

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (i^{4} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.26

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.26.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.26.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.26.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (1 i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.27

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{2} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.28

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot - 1 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.29

将 $28$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.30

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 i^{7} + i^{8}$

解题步骤 2.1.31

将 $i^{7}$ 重写为 $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ 。

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解题步骤 2.1.31.1

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} i^{3}) + i^{8}$

解题步骤 2.1.31.2

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

解题步骤 2.1.32

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.32.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

解题步骤 2.1.32.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

解题步骤 2.1.32.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (1 (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

解题步骤 2.1.33

将 $i^{2} \cdot i$ 乘以 $1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{2} \cdot i) + i^{8}$

解题步骤 2.1.34

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- 1 \cdot i) + i^{8}$

解题步骤 2.1.35

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- i) + i^{8}$

解题步骤 2.1.36

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + i^{8}$

解题步骤 2.1.37

将 $i^{8}$ 重写为 ${(i^{4})}^{2}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {(i^{4})}^{2}$

解题步骤 2.1.38

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.38.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(i^{2})}^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.38.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(- 1)}^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.38.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1^{2}$

解题步骤 2.1.39

一的任意次幂都为一。

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $28$ 。

$- 27 + 8 i - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 27$ 和 $70$ 相加。

$43 + 8 i - 56 i + 56 i - 28 - 8 i + 1$

解题步骤 2.2.2.2

从 $43$ 中减去 $28$ 。

$15 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i + 1$

解题步骤 2.2.2.3

将 $15$ 和 $1$ 相加。

$16 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i$

解题步骤 2.2.3

从 $8 i$ 中减去 $56 i$ 。

$16 - 48 i + 56 i - 8 i$

解题步骤 2.2.4

将 $- 48 i$ 和 $56 i$ 相加。

$16 + 8 i - 8 i$

解题步骤 2.2.5

从 $8 i$ 中减去 $8 i$ 。

$16 + 0$

解题步骤 2.2.6

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$16$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = 16$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + 16^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + 16^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + 256}$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $256$ 相加。

$| z | = \sqrt{256}$

解题步骤 6.4

将 $256$ 重写为 $16^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{16^{2}}$

解题步骤 6.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 16$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{16})$

解题步骤 8

因为 $\frac{0}{16}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 9

代入 $θ = 0$ 和 $| z | = 16$ 的值。

$16 (\cos (0) + i \sin (0))$

三角学 示例

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