三角学示例

$7 i^{243} + 10 i^{986}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $i^{243}$ 重写为 ${(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)$ 。

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解题步骤 1.1.1

因式分解出 $i^{240}$ 。

$7 (i^{240} i^{3}) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.1.2

将 $i^{240}$ 重写为 ${(i^{4})}^{60}$ 。

$7 ({(i^{4})}^{60} i^{3}) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.1.3

因式分解出 $i^{2}$ 。

$7 ({(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.2

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$7 ({({(i^{2})}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.2.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$7 ({({(- 1)}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 (1^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.3

一的任意次幂都为一。

$7 (1 (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.4

将 $i^{2} \cdot i$ 乘以 $1$ 。

$7 (i^{2} \cdot i) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$7 (- 1 \cdot i) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.6

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$7 (- i) + 10 i^{986}$

解题步骤 1.7

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 7 i + 10 i^{986}$

解题步骤 1.8

将 $i^{986}$ 重写为 ${(i^{4})}^{246} i^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1

因式分解出 $i^{984}$ 。

$- 7 i + 10 (i^{984} i^{2})$

解题步骤 1.8.2

将 $i^{984}$ 重写为 ${(i^{4})}^{246}$ 。

$- 7 i + 10 ({(i^{4})}^{246} i^{2})$

解题步骤 1.9

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 1.9.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$- 7 i + 10 ({({(i^{2})}^{2})}^{246} i^{2})$

解题步骤 1.9.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 7 i + 10 ({({(- 1)}^{2})}^{246} i^{2})$

解题步骤 1.9.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 7 i + 10 (1^{246} i^{2})$

解题步骤 1.10

一的任意次幂都为一。

$- 7 i + 10 (1 i^{2})$

解题步骤 1.11

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 7 i + 10 i^{2}$

解题步骤 1.12

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 7 i + 10 \cdot - 1$

解题步骤 1.13

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$- 7 i - 10$

解题步骤 2

将 $- 7 i$ 和 $- 10$ 重新排序。

$- 10 - 7 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 10$ 和 $b = - 7$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 10)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{49 + {(- 10)}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{49 + 100}$

解题步骤 6.3

将 $49$ 和 $100$ 相加。

$| z | = \sqrt{149}$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 7}{- 10})$

解题步骤 8

因为 $\frac{- 7}{- 10}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为 $3.75231861$ 。

$θ = 3.75231861$

解题步骤 9

代入 $θ = 3.75231861$ 和 $| z | = \sqrt{149}$ 的值。

$\sqrt{149} (\cos (3.75231861) + i \sin (3.75231861))$

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