三角学示例

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 1

将

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$ 和

$- 4 \sqrt{3}$ 重新排序。

$- 4 \sqrt{3} - 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中

$| z |$ 是模数，

$θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当

$z = a + b i$ 时，

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入

$a = - 4 \sqrt{3}$ 和

$b = - 4$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5

求

$| z |$ 。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

对

$- 4$ 进行

$2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

对

$- 4 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.1.3

对

$- 4$ 进行

$2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.2

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将

$16$ 乘以

$3$ 。

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

解题步骤 5.3.2

将

$16$ 和

$48$ 相加。

$| z | = \sqrt{64}$

解题步骤 5.3.3

将

$64$ 重写为

$8^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 5.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 8$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})$

解题步骤 7

因为

$\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为

$\frac{7 π}{6}$ 。

$θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8

代入

$θ = \frac{7 π}{6}$ 和

$| z | = 8$ 的值。

$8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

三角学 示例

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