三角学示例

$2 i^{2} + 3 i^{3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2 \cdot - 1 + 3 i^{3}$

解题步骤 1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 3 i^{3}$

解题步骤 1.3

因式分解出 $i^{2}$ 。

$- 2 + 3 (i^{2} \cdot i)$

解题步骤 1.4

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 2 + 3 (- 1 \cdot i)$

解题步骤 1.5

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$- 2 + 3 (- i)$

解题步骤 1.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 2 - 3 i$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = - 2$ 和 $b = - 3$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{9 + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{9 + 4}$

解题步骤 5.3

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$| z | = \sqrt{13}$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 3}{- 2})$

解题步骤 7

因为 $\frac{- 3}{- 2}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为 $4.12438637$ 。

$θ = 4.12438637$

解题步骤 8

代入 $θ = 4.12438637$ 和 $| z | = \sqrt{13}$ 的值。

$\sqrt{13} (\cos (4.12438637) + i \sin (4.12438637))$

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