三角学示例

$\tan (67.5)$

解题步骤 1

将 $67.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\tan (\frac{135}{2})$

解题步骤 2

使用正切半角公式。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

解题步骤 3

将 $\pm$ 更改为 $+$ ，因为正切在第一象限是正的。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

解题步骤 4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ 。

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解题步骤 4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

解题步骤 4.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

解题步骤 4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

解题步骤 4.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

解题步骤 4.7

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.9

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 4.10

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.11.2

重写表达式。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

解题步骤 4.12

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

解题步骤 4.13

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

解题步骤 4.14

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 4.15

化简。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.16

运用分配律。

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.17.1

约去公因数。

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.17.2

重写表达式。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.18

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 4.19

化简每一项。

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解题步骤 4.19.1

运用分配律。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.19.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.19.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 4.19.4

化简每一项。

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解题步骤 4.19.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

解题步骤 4.19.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

解题步骤 4.19.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

解题步骤 4.19.5

约去 $2 \sqrt{2} + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.19.5.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

解题步骤 4.19.5.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

解题步骤 4.19.5.3

从 $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

解题步骤 4.19.5.4

约去公因数。

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解题步骤 4.19.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

解题步骤 4.19.5.4.2

约去公因数。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 4.19.5.4.3

重写表达式。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

解题步骤 4.19.5.4.4

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

解题步骤 4.20

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

解题步骤 4.21

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

小数形式：

$2.41421356 \dots$

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