三角学示例

$f (x) = \cos (x + 2) + 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ 写为等式。

$y = \cos (x + 2) + 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \cos (y + 2) + 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\cos (y + 2) + 1 = x$ 。

$\cos (y + 2) + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (y + 2) = x - 1$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y + 2 = \arccos (x - 1)$

解题步骤 3.4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = \arccos (x - 1) - 2$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ 是否为 $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1)$ 。

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$

解题步骤 5.2.3

合并 $\arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2) + 0) - 2$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\cos (x + 2)$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2)) - 2$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arccos (x - 1) - 2)$ 。

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$

解题步骤 5.3.3

合并 $\cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1) + 0) + 1$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\arccos (x - 1)$ 和 $0$ 相加。

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1)) + 1$

解题步骤 5.3.4

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.3.5

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ 为 $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$

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