三角学示例

$f (x) = 3 \sin (2 x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 3 \sin (2 x)$ 写为等式。

$y = 3 \sin (2 x)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 3 \sin (2 y)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $3 \sin (2 y) = x$ 。

$3 \sin (2 y) = x$

解题步骤 3.2

将 $3 \sin (2 y) = x$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $3 \sin (2 y) = x$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \sin (2 y)}{3} = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sin (2 y)}{3} = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $\sin (2 y)$ 除以 $1$ 。

$\sin (2 y) = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$

解题步骤 3.4

将 $2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$ 是否为 $f (x) = 3 \sin (2 x)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3 \sin (2 x))$ 。

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (2 x)}{3})}{2}$

解题步骤 5.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (2 x)}{3})}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\sin (2 x))}{2}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2})$ 。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}))$

解题步骤 5.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}))$

解题步骤 5.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}))$

解题步骤 5.3.4

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 5.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$ 为 $f (x) = 3 \sin (2 x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

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