三角学示例

$f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ 写为等式。

$y = \frac{3 x}{5 x - 2}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{3 y}{5 y - 2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $5 y - 2$ 。

$(5 y - 2) (x) = (\frac{3 y}{5 y - 2}) (5 y - 2)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$5 y x - 2 x = (\frac{3 y}{5 y - 2}) (5 y - 2)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $5 y - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$5 y x - 2 x = \frac{3 y}{5 y - 2} (5 y - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$5 y x - 2 x = 3 y$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$5 y x - 2 x - 3 y = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$5 y x - 3 y = 2 x$

解题步骤 3.4.3

从 $5 y x - 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $5 y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (5 x) - 3 y = 2 x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (5 x) + y \cdot - 3 = 2 x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $y (5 x) + y \cdot - 3$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (5 x - 3) = 2 x$

解题步骤 3.4.4

将 $y (5 x - 3) = 2 x$ 中的每一项除以 $5 x - 3$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $y (5 x - 3) = 2 x$ 中的每一项都除以 $5 x - 3$ 。

$\frac{y (5 x - 3)}{5 x - 3} = \frac{2 x}{5 x - 3}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $5 x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (5 x - 3)}{5 x - 3} = \frac{2 x}{5 x - 3}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2 x}{5 x - 3}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$ 是否为 $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2})$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{5 x - 2})}{5 (\frac{3 x}{5 x - 2}) - 3}$

解题步骤 5.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3 x}{5 x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{5 (\frac{3 x}{5 x - 2}) - 3}$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

乘以 $5 \frac{3 x}{5 x - 2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1

组合 $5$ 和 $\frac{3 x}{5 x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{5 (3 x)}{5 x - 2} - 3}$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} - 3}$

解题步骤 5.2.4.2

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} - 3 \cdot \frac{5 x - 2}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} + \frac{- 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{15 x - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.5.1

从 $15 x - 3 (5 x - 2)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.2.4.5.1.1

从 $15 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x) - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5.1.2

从 $- 3 (5 x - 2)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x) + 3 (- (5 x - 2))}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5.1.3

从 $3 (5 x) + 3 (- (5 x - 2))$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - (5 x - 2))}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - (5 x) + 2)}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 2)}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 2)}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5.5

从 $5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.5.6

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.4.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{6}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{5 x - 2}}{\frac{6}{5 x - 2}}$

解题步骤 5.2.6

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 x}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

解题步骤 5.2.7

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 (x)}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

解题步骤 5.2.7.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 x}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

解题步骤 5.2.7.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{x}{5 x - 2} \cdot (5 x - 2)$

解题步骤 5.2.8

约去 $5 x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{x}{5 x - 2} \cdot (5 x - 2)$

解题步骤 5.2.8.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{2 x}{5 x - 3})$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{5 x - 3})}{5 (\frac{2 x}{5 x - 3}) - 2}$

解题步骤 5.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{2 x}{5 x - 3}$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{5 (\frac{2 x}{5 x - 3}) - 2}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

乘以 $5 \frac{2 x}{5 x - 3}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.1

组合 $5$ 和 $\frac{2 x}{5 x - 3}$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{5 (2 x)}{5 x - 3} - 2}$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} - 2}$

解题步骤 5.3.4.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} - 2 \cdot \frac{5 x - 3}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} + \frac{- 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{10 x - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

从 $10 x - 2 (5 x - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x) - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.5.1.2

从 $- 2 (5 x - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x) + 2 (- (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.5.1.3

从 $2 (5 x) + 2 (- (5 x - 3))$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

运用分配律。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - (5 x) + 3)}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.5.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.5.5

从 $5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.5.6

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.4.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{6}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{5 x - 3}}{\frac{6}{5 x - 3}}$

解题步骤 5.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

解题步骤 5.3.7

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 (x)}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

解题步骤 5.3.7.2

约去公因数。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

解题步骤 5.3.7.3

重写表达式。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

解题步骤 5.3.8

约去 $5 x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

约去公因数。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

解题步骤 5.3.8.2

重写表达式。

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$ 为 $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$

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