三角学示例

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

解题步骤 1

将 $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ 写为等式。

$y = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

解题步骤 2

交换变量。

$t = \frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec (y + 2)$ 。

$\frac{\sec (y + 2)}{2} - π = t$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $π$ 。

$\frac{\sec (y + 2)}{2} = t + π$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

解题步骤 3.5.1.1.2

重写表达式。

$\sec (y + 2) = 2 (t + π)$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

运用分配律。

$\sec (y + 2) = 2 t + 2 π$

解题步骤 3.6

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $y$ 。

$y + 2 = arcsec (2 t + 2 π)$

解题步骤 3.7

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (t)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ 是否为 $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (t)) = t$ 和 $f (f^{- 1} (t)) = t$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (t))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (t))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) + 2 π) - 2$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec (t + 2)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2} - π) + 2 π) - 2$

解题步骤 5.2.3.1.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

解题步骤 5.2.3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

解题步骤 5.2.3.1.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) - 2 π + 2 π) - 2$

解题步骤 5.2.3.2

合并 $\sec (t + 2) - 2 π + 2 π$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 $- 2 π$ 和 $2 π$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 0) - 2$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 $\sec (t + 2)$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2)) - 2$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (t))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (t))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (arcsec (2 t + 2 π) - 2)$ 。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$

解题步骤 5.3.3

合并 $\frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π) + 0) - π$

解题步骤 5.3.3.2

将 $arcsec (2 t + 2 π)$ 和 $0$ 相加。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π)) - π$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

正割函数和反正割函数互为反函数。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t + 2 π) - π$

解题步骤 5.3.4.2

运用分配律。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

解题步骤 5.3.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.3.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (t)) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

解题步骤 5.3.4.3.2

约去公因数。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

解题步骤 5.3.4.3.3

重写表达式。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

解题步骤 5.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 (π)) - π$

解题步骤 5.3.4.4.2

约去公因数。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

解题步骤 5.3.4.4.3

重写表达式。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + π - π$

解题步骤 5.3.5

合并 $t + π - π$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $t$ 和 $0$ 相加。

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (t)) = t$ 和 $f (f^{- 1} (t)) = t$ ，因此 $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ 为 $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ 的反函数。

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

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