三角学示例

$(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 1

使用换算公式，把直角坐标系 $(x, y)$ 转换成极坐标系 $(r, θ)$ 。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 2

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3

求极坐标的大小。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$r = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4

一的任意次幂都为一。

$r = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.6.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7.2

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.5

计算指数。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.2

在公分母上合并分子。

$r = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$r = \sqrt{\frac{4}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.4

用 $4$ 除以 $4$ 。

$r = \sqrt{1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 4

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 5

$\sqrt{3}$ 的反正切为 $θ = 240 °$ 。

$r = 1$

$θ = 240 °$

解题步骤 6

这是 $(r, θ)$ 形式的转换成极坐标的结果。

$(1, 240 °)$

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