三角学示例

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1

使用换算公式，把直角坐标系 $(x, y)$ 转换成极坐标系 $(r, θ)$ 。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 2

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3

求极坐标的大小。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2.5

计算指数。

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{2}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$r = \sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.5

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6.5

计算指数。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 3.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.2.2

约去公因数。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.2.3

重写表达式。

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1

在公分母上合并分子。

$r = \sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r = \sqrt{\frac{2}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$r = \sqrt{1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 4

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 5

$1$ 的反正切为 $θ = 45 °$ 。

$r = 1$

$θ = 45 °$

解题步骤 6

这是 $(r, θ)$ 形式的转换成极坐标的结果。

$(1, 45 °)$

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