三角学示例

sin (x) < 0

$\sin (x) < 0$ ,

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1

化简第一个不等式。

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解题步骤 1.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x < arcsin (0)

$x < \arcsin (0)$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.1

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

x < 0

$x < 0$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

x < 0

$x < 0$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

π

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = π - 0

$x = π - 0$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.4

从

π

$π$ 中减去

0

$0$ 。

x = π

$x = π$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.5

求

sin (x)

$\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 1.6

sin (x)

$\sin (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.7

合并答案。

x = π n

$x = π n$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.8

使用每一个根建立验证区间。

0 < x < π

$0 < x < π$

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.9

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 1.9.1

检验区间

0 < x < π

$0 < x < π$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.9.1.1

选择区间

0 < x < π

$0 < x < π$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

x = 2

$x = 2$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.9.1.2

使用原不等式中的

2

$2$ 替换

x

$x$ 。

sin (2) < 0

$\sin (2) < 0$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.9.1.3

左边的

0.90929742

$0.90929742$ 不小于右边的

0

$0$ ，即给定的命题是假命题。

假和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

假和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.9.2

检验区间

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 1.9.2.1

选择区间

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

x = 5

$x = 5$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.9.2.2

使用原不等式中的

5

$5$ 替换

x

$x$ 。

sin (5) < 0

$\sin (5) < 0$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.9.2.3

左边的

- 0.95892427

$- 0.95892427$ 小于右边的

0

$0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

真和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.9.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

0 < x < π

$0 < x < π$ 为假

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ True and

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

0 < x < π

$0 < x < π$ 为假

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ True and

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 1.10

解由使等式成立的所有区间组成。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

解题步骤 2

化简第二个不等式。

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解题步骤 2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的

x

$x$ 。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x > arccot (0)

$x > arccot (0)$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

arccot (0)

$arccot (0)$ 的准确值为

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x > \frac{π}{2}

$x > \frac{π}{2}$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x > \frac{π}{2}

$x > \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自

π

$π$ 的参考角以求第四象限中的解。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = π + \frac{π}{2}

$x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4

化简

π + \frac{π}{2}

$π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要将

π

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.4.2.1

组合

π

$π$ 和

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.2

在公分母上合并分子。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 2.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.4.3.1

将

2

$2$ 移到

π

$π$ 的左侧。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{2 \cdot π + π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 2.4.3.2

将

2 π

$2 π$ 和

π

$π$ 相加。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5

求

cot (x)

$\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.5.1

函数的周期可利用

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{π}{| 1 |}

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.5.4

用

π

$π$ 除以

1

$1$ 。

π

$π$

π

$π$

解题步骤 2.6

cot (x)

$\cot (x)$ 函数的周期为

π

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

π

$π$ 弧度将重复出现。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$

解题步骤 2.7

合并答案。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = \frac{π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n$

解题步骤 2.8

使用每一个根建立验证区间。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.9

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 2.9.1

检验区间

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.9.1.1

选择区间

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

x = 3

$x = 3$

解题步骤 2.9.1.2

使用原不等式中的

3

$3$ 替换

x

$x$ 。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 和

cot (3) > 0

$\cot (3) > 0$

解题步骤 2.9.1.3

左边的

- 7.01525255

$- 7.01525255$ 不大于右边的

0

$0$ ，即给定的命题是假命题。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and False

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and False

解题步骤 2.9.2

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ False

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ False

解题步骤 2.10

因为没有任何数处于区间内，所以此不等式无解。

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and No solution

无解

三角学 示例

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