三角学示例

$\ln (\frac{x}{x - 5}) + \ln (\frac{x + 5}{x}) - \ln (x^{2} - 25)$

解题步骤 1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (\frac{x}{x - 5} \cdot \frac{x + 5}{x}) - \ln (x^{2} - 25)$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 5} \cdot \frac{x + 5}{x}}{x^{2} - 25})$

解题步骤 3

将 $\frac{x}{x - 5}$ 乘以 $\frac{x + 5}{x}$ 。

$\ln (\frac{\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}}{x^{2} - 25})$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\ln (\frac{\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}}{x^{2} - 5^{2}})$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\ln (\frac{\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}}{(x + 5) (x - 5)})$

解题步骤 5

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}$ 。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\ln (\frac{\frac{x (x + 5)}{(x - 5) x}}{(x + 5) (x - 5)})$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$\ln (\frac{\frac{x + 5}{x - 5}}{(x + 5) (x - 5)})$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{1}{(x + 5) (x - 5)})$

解题步骤 7

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\ln (\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{1}{(x + 5) (x - 5)})$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\ln (\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{1}{x - 5})$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{x - 5}$ 乘以 $\frac{1}{x - 5}$ 。

$\ln (\frac{1}{(x - 5) (x - 5)})$

解题步骤 9

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{1}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)})$

解题步骤 10

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{1}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}})$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{1}{{(x - 5)}^{1 + 1}})$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{1}{{(x - 5)}^{2}})$

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