三角学示例

$\log_{2} (\sqrt{5}) - \log_{2} (\sqrt{40})$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{40}})$

解题步骤 2

把 $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{40}$ 组合为一个单根式。

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5}{40}})$

解题步骤 3

约去 $5$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 (1)}{40}})$

解题步骤 3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $5$ 。

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}})$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}})$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\log_{2} (\sqrt{\frac{1}{8}})$

解题步骤 4

将 $\sqrt{\frac{1}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}$ 。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}})$

解题步骤 5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$

解题步骤 6

化简分母。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{4 (2)}})$

解题步骤 6.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.2

从根式下提出各项。

$\log_{2} (\frac{1}{2 \sqrt{2}})$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\log_{2} (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 8

合并和化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 8.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

解题步骤 8.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

解题步骤 8.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

解题步骤 8.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

解题步骤 8.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})$

解题步骤 8.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 8.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 8.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 8.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.4.1

约去公因数。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 8.7.4.2

重写表达式。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})$

解题步骤 8.7.5

计算指数。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{4})$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{4})$

小数形式：

$- 1.5$

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