三角学示例

$2 x^{2} + 7 x^{3} - 8 x^{2} + 5$

解题步骤 1

重新组合项。

$- 8 x^{2} + 2 x^{2} + 7 x^{3} + 5$

解题步骤 2

重新排序项。

$- 8 x^{2} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$

解题步骤 3

使用有理根检验法因式分解 $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 3.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

解题步骤 3.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

解题步骤 3.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$7 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

解题步骤 3.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$7 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

解题步骤 3.3.3

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$- 7 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

解题步骤 3.3.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 7 + 2 \cdot 1 + 5$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 7 + 2 + 5$

解题步骤 3.3.6

将 $- 7$ 和 $2$ 相加。

$- 5 + 5$

解题步骤 3.3.7

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$0$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{7 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x + 1}$

解题步骤 3.5

用 $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 3.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

解题步骤 3.5.2

将被除数中的最高阶项 $7 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

解题步骤 3.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

解题步骤 3.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{3} + 7 x^{2}$ 中的所有符号

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

解题步骤 3.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

解题步骤 3.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 3.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 5 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 3.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 3.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 x^{2} - 5 x$ 中的所有符号

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

解题步骤 3.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$

解题步骤 3.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

解题步骤 3.5.12

将被除数中的最高阶项 $5 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

解题步骤 3.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

解题步骤 3.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x + 5$ 中的所有符号

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

解题步骤 3.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$
										$0$

解题步骤 3.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$7 x^{2} - 5 x + 5$

解题步骤 3.6

将 $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ 书写为因数的集合。

$- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$

解题步骤 4

从 $- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 8 x^{2}$ 和 $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ 重新排序。

$(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) - 8 x^{2}$

解题步骤 4.2

从 $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - 8 x^{2}$

解题步骤 4.3

从 $- 8 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$

解题步骤 4.4

从 $- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) + 8 x^{2})$

解题步骤 5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ 。

$- (- x (7 x^{2}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

使用乘法的交换性质重写。

$- (- 1 \cdot 7 x \cdot x^{2} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x^{1}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (- 1 \cdot 7 x^{2 + 1} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- (- 1 \cdot 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- (- 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.4

使用乘法的交换性质重写。

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

移动 $x$ 。

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.6

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.7

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.8

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.9

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 6.10

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 7

合并 $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 7.1

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} + 0 - 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 7.2

将 $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 8

从 $5 x^{2}$ 中减去 $7 x^{2}$ 。

$- (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

解题步骤 9

将 $- 2 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$- (- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5)$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

从 $- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 10.1.1

从 $- 7 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (- (7 x^{3}) + 6 x^{2} - 5)$

解题步骤 10.1.2

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 5)$

解题步骤 10.1.3

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 1 (5))$

解题步骤 10.1.4

从 $- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5))$

解题步骤 10.1.5

从 $- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$- - 1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

解题步骤 11

合并指数。

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解题步骤 11.1

提取负因数。

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

解题步骤 11.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

解题步骤 11.3

将 $7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$ 乘以 $1$ 。

$7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$

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