三角学示例

$12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.58\overline{3}, \pm 3.5, \pm 1.1\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 1.75$

解题步骤 1.3

代入 $0.\overline{3}$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.\overline{3}$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $0.\overline{3}$ 代入多项式。

$12 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

解题步骤 1.3.2

对 $0.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$12 \cdot 0.\overline{037} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

解题步骤 1.3.3

将 $12$ 乘以 $0.\overline{037}$ 。

$0.\overline{4} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

解题步骤 1.3.4

对 $0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.\overline{4} - 91 \cdot 0.\overline{1} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

解题步骤 1.3.5

将 $- 91$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$0.\overline{4} - 10.11111111 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

解题步骤 1.3.6

从 $0.\overline{4}$ 中减去 $10.11111111$ 。

$- 9.66666666 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

解题步骤 1.3.7

将 $50$ 乘以 $0.\overline{3}$ 。

$- 9.66666666 + 16.\overline{6} - 7$

解题步骤 1.3.8

将 $- 9.66666666$ 和 $16.\overline{6}$ 相加。

$7 - 7$

解题步骤 1.3.9

从 $7$ 中减去 $7$ 。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $0.\overline{3}$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $3 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7}{3 x - 1}$

解题步骤 1.5

用 $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ 除以 $3 x - 1$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$91 x^{2}$

$50 x$

$7$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $12 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$4 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			+	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 87 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					-	$87 x^{2}$	+	$29 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 87 x^{2} + 29 x$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $21 x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							+	$21 x$	-	$7$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $21 x - 7$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$4 x^{2} - 29 x + 7$

解题步骤 1.6

将 $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ 书写为因数的集合。

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 x + 7)$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ 并且它们的和为 $b = - 29$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $- 29 x$ 中分解出因数 $- 29$ 。

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 (x) + 7)$

解题步骤 2.1.1.2

把 $- 29$ 重写为 $- 1$ 加 $- 28$

$(3 x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 28) x + 7)$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 28 x + 7)$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 28 x + 7)$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(3 x - 1) (x (4 x - 1) - 7 (4 x - 1))$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $4 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 1) ((4 x - 1) (x - 7))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$(3 x - 1) (4 x - 1) (x - 7)$

三角学 示例

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