三角学示例

$\cot (165)$

解题步骤 1

使用运用基本恒等式的等效表达式 $\frac{1}{\tan (165)}$ 替换 $\cot (165)$ 。

$\frac{1}{\tan (165)}$

解题步骤 2

在分母上使用和公式或差公式。

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解题步骤 2.1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中， $165$ 可以被拆分为 $120 + 45$ 。

$\frac{1}{\tan (120 + 45)}$

解题步骤 2.2

使用两正切的和公式对表达式进行化简。该公式是 $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{1}{\frac{\tan (120) + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

解题步骤 2.3

化简分子。

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解题步骤 2.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{1}{\frac{- \tan (60) + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

解题步骤 2.3.2

$\tan (60)$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

解题步骤 2.3.3

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

解题步骤 2.4

化简分母。

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解题步骤 2.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}}$

解题步骤 2.4.2

$\tan (60)$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}}$

解题步骤 2.4.3

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (45)}}$

解题步骤 2.4.3.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}}$

解题步骤 2.4.4

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}}$

解题步骤 2.4.5

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6

合并分数。

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解题步骤 2.6.1

将 $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}}$

解题步骤 2.6.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

解题步骤 2.6.3

化简。

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

重新排序项。

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.7.2

对 $1 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.7.3

对 $1 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

解题步骤 2.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

解题步骤 2.8

将 ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.9

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.9.1

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.9.2

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.9.3

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.2

将 $- \sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.10.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.10.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.5.5

计算指数。

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

解题步骤 2.10.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.3

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.11

约去 $4 - 2 \sqrt{3}$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.11.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.11.3

从 $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.11.4

移动 $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})}$

解题步骤 2.12

将 $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ 重写为 $- (2 - \sqrt{3})$ 。

$\frac{1}{- (2 - \sqrt{3})}$

解题步骤 2.13

运用分配律。

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 + \sqrt{3}}$

解题步骤 2.14

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$

解题步骤 2.15

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 2.15.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{- 2 + 1 \sqrt{3}}$

解题步骤 2.15.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$ 。

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

解题步骤 3.3

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简。

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 3.5

用 $- 2 - \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$- 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 - \sqrt{3}$

小数形式：

$- 3.73205080 \dots$

三角学 示例

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