三角学示例

$\cot (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1

使用运用基本恒等式的等效表达式 $\frac{1}{\tan (\frac{7 π}{12})}$ 替换 $\cot (\frac{7 π}{12})$ 。

$\frac{1}{\tan (\frac{7 π}{12})}$

解题步骤 2

在分母上使用和公式或差公式。

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解题步骤 2.1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中， $\frac{7 π}{12}$ 可以被拆分为 $\frac{π}{4} + \frac{π}{3}$ 。

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})}$

解题步骤 2.2

使用两正切的和公式对表达式进行化简。该公式是 $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 2.3

化简分子。

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解题步骤 2.3.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 2.3.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 2.4

化简分母。

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解题步骤 2.4.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot (1 \tan (\frac{π}{3}))}}$

解题步骤 2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 2.4.3

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}}$

解题步骤 2.4.4

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6

合并分数。

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解题步骤 2.6.1

将 $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}}$

解题步骤 2.6.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

解题步骤 2.6.3

化简。

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

对 $1 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.7.2

对 $1 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

解题步骤 2.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

解题步骤 2.8

将 ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.9

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.9.1

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.9.2

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.9.3

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

解题步骤 2.10.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.10.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.11

约去 $4 + 2 \sqrt{3}$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

解题步骤 2.11.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.11.3

从 $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}}$

解题步骤 2.11.4

移动 $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 2.12

将 $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ 重写为 $- (2 + \sqrt{3})$ 。

$\frac{1}{- (2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 2.13

运用分配律。

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 2.14

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 3.3

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简。

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 3.5

用 $- 2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$- 2 + \sqrt{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 + \sqrt{3}$

小数形式：

$- 0.26794919 \dots$

三角学 示例

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