三角学示例

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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解题步骤 1.1

该角 $\frac{π}{3}$ 是六个三角函数值均已知的一个角。因此，应加上 $0$ 以保持值不变。

$\frac{(\tan (\frac{π}{3} + 0)) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.2

使用两正切的和公式对表达式进行化简。该公式是 $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{(\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + 0}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.3.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.4

化简分母。

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解题步骤 1.4.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.4.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \cdot 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.4.3

乘以 $- \sqrt{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0 \sqrt{3}}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.4.3.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.4.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.5

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{(\sqrt{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.6

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.7

该角 $\frac{π}{4}$ 是六个三角函数值均已知的一个角。因此，应加上 $0$ 以保持值不变。

$\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4} + 0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.8

使用两正切的和公式对表达式进行化简。该公式是 $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3} (\tan (\frac{π}{4}) + \tan (0))}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.9

化简分子。

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解题步骤 1.9.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.9.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + 0}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.9.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.10

化简分母。

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解题步骤 1.10.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot (1 \tan (0))}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.10.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.10.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 + 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.10.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.11

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.11.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

解题步骤 2.1.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3

合并分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

解题步骤 2.3.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 2.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.1

重新排序项。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 2.4.2

对 $1 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 2.4.3

对 $1 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

解题步骤 2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

解题步骤 2.5

将 ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 2.6

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.7.1.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.7.1.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.7.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

解题步骤 2.7.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

解题步骤 2.7.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

解题步骤 2.7.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

解题步骤 2.7.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.7.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.8

约去 $4 + 2 \sqrt{3}$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.8.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 2.8.3

从 $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 2.8.4

移动 $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 2.9

将 $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ 重写为 $- (2 + \sqrt{3})$ 。

$- (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 2.10

运用分配律。

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 2.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 - \sqrt{3}$

小数形式：

$- 3.73205080 \dots$

三角学 示例

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