三角学示例

$\sin (\frac{19 π}{12})$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中， $\frac{19 π}{12}$ 可以被拆分为 $\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3}$ 。

$\sin (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3})$

解题步骤 2

使用正弦的和公式化简该表达式。该公式表述为 $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ 。

$\sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 3

去掉圆括号。

$\sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$- \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.4

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.6

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.7

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.8

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.8.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.8.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.8.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.8.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 5.2

从 $- \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 5.3

从 $- \sqrt{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})}{4}$

解题步骤 5.4

从 $- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ 重写为 $- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ 。

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

解题步骤 5.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

小数形式：

$- 0.96592582 \dots$

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