三角学示例

$\sin (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6})$

解题步骤 1

使用正弦的差公式化简表达式。该公式表述为 $\sin (A - B) = \sin (A) \cos (B) - \cos (A) \sin (B)$ 。

$\sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 2

去掉圆括号。

$\sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$- \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.4

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.4.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.6

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.7

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.7.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 3.8

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.9

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.9.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.2

从 $- \sqrt{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.3

从 $\sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.4

从 $- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $- (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 重写为 $- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 。

$\frac{- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

小数形式：

$- 0.25881904 \dots$

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