三角学示例

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6}) + \arctan (- 5))$

解题步骤 1

使用正弦的和公式化简该表达式。该公式表述为 $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ 。

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6})) \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 2

去掉圆括号。

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6})) \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$\frac{1}{6} \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2

在平面中画出顶点为 $(1, - 5)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (- 5)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, - 5)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arctan (- 5))$ 为 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{26}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.2

对 $\sqrt{26}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.3

对 $\sqrt{26}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.6

将 ${\sqrt{26}}^{2}$ 重写为 $26$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{26}$ 重写成 $26^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.2.6.5

计算指数。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.3

乘以 $\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{6 \cdot 26} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.3.2

将 $6$ 乘以 $26$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.4

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, \frac{1}{6})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{1}{6})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, \frac{1}{6})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{1}{6}))$ 为 $\sqrt{\frac{35}{36}}$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \sqrt{\frac{35}{36}} \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.5

将 $\sqrt{\frac{35}{36}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{36}}$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{36}} \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.6

化简分母。

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解题步骤 3.6.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{6^{2}}} \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} \sin (\arctan (- 5))$

解题步骤 3.7

在平面中画出顶点为 $(1, - 5)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (- 5)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, - 5)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arctan (- 5))$ 为 $- \frac{5 \sqrt{26}}{26}$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $\frac{5}{\sqrt{26}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}})$

解题步骤 3.7.2

对 $\sqrt{26}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}})$

解题步骤 3.7.3

对 $\sqrt{26}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}})$

解题步骤 3.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

解题步骤 3.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}})$

解题步骤 3.7.6

将 ${\sqrt{26}}^{2}$ 重写为 $26$ 。

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解题步骤 3.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{26}$ 重写成 $26^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 3.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 3.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 3.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 3.7.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{1}})$

解题步骤 3.7.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26})$

解题步骤 3.8

乘以 $\frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26})$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $\frac{\sqrt{35}}{6}$ 乘以 $\frac{5 \sqrt{26}}{26}$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{\sqrt{35} (5 \sqrt{26})}{6 \cdot 26}$

解题步骤 3.8.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{35 \cdot 26}}{6 \cdot 26}$

解题步骤 3.8.3

将 $35$ 乘以 $26$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{910}}{6 \cdot 26}$

解题步骤 3.8.4

将 $6$ 乘以 $26$ 。

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{910}}{156}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{26} - 5 \sqrt{910}}{156}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{26} - 5 \sqrt{910}}{156}$

小数形式：

$- 0.93417956 \dots$

三角学 示例

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