三角学示例

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)}$

解题步骤 2

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.1

要将 $- \cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.1.2

组合 $- \cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.1.4

化简分子。

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解题步骤 3.1.4.1

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1.4.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.1.4.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.1.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.1.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.1.4.2

以因式分解的形式重写 $1 - {\cos (x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.4.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.1.4.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$\frac{1}{\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.2

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 4

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) \cdot 1 + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $1 + \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (- \cos (x))}$

解题步骤 5.1.3

将 $- \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}$

解题步骤 5.1.4

乘以 $\cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

解题步骤 5.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

解题步骤 5.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 5.2

从 $\cos (x)$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 $\cot (x) \csc (x)$ 。

$\cot (x) \csc (x)$

解题步骤 8

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$ 是一个恒等式

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