三角学示例

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

解题步骤 1

从右边开始。

$\sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sec (x)$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

解题步骤 2.3

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1 + \sin (x)}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 6.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 6.2

约去 $1 + \sin (x)$ 的公因数。

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$ 是一个恒等式

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