三角学示例

\frac{1 - cos (x)}{1 + cos (x)} = {(cot (x) - csc (x))}^{2}

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

解题步骤 1

从右边开始。

${(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写

$\cot (x)$ 。

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x))}^{2}$

解题步骤 2.2

对

$\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 重写为

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ 。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.2

使用 FOIL 方法展开

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.2.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.2.3

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

乘以

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1.1

将

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.1.2

对

$\cos (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.1.3

对

$\cos (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.1.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.1.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.1.6

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.1.7

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.1.8

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.1.9

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.2

乘以

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

将

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以

$\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.2.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.2.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.3

乘以

$- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.3.1

将

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以

$\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.3.2

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.3.3

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.3.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

解题步骤 2.3.3.1.4

乘以

$- \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.4.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{1}{\sin (x)} \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2

将

$\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.3

将

$\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以

$\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.4

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

解题步骤 2.3.3.1.4.5

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

解题步骤 2.3.3.1.4.6

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.3.1.4.7

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x) - \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

从

$- \cos (x)$ 中减去

$\cos (x)$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2} - 2 \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.6

使用完全平方法则进行因式分解。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将

${(\cos (x) - 1)}^{2}$ 重写为

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ 。

$\frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2

使用 FOIL 方法展开

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - 1) - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2.3

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.3

化简并合并同类项。

$\frac{\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3

使用完全平方法则进行因式分解。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = 1$ 和

$b = \cos (x)$ 。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 5.2

约去

${(\cos (x) - 1)}^{2}$ 和

$1 - \cos (x)$ 的公因数。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$ 是一个恒等式

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