三角学示例

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

解题步骤 2

因数。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(1^{2} - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + 1 - \sin^{2} (x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2.1.3

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2.1.4

乘以 $\cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2.2

将 $- \cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$ 。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$1 (2 - {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.4.3

运用分配律。

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} \cdot 2 - {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})$

解题步骤 4.5

化简每一项。

$2 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

移动 $- 2 \cos^{2} (x)$ 。

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.3

从 $- 2 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.4

从 $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.5

使用勾股恒等式。

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.6

从 $2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) \cdot 2 - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.6.2

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.6.3

从 $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

解题步骤 5.6.4

从 $\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

解题步骤 5.6.5

从 $\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\sin^{2} (x) (2 - 1 + \cos^{2} (x))$

解题步骤 5.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 5.8

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

解题步骤 5.9

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

解题步骤 5.10

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$\sin^{2} (x) (2 - (1 - \cos^{2} (x)))$

解题步骤 5.11

使用勾股恒等式。

$\sin^{2} (x) (2 - \sin^{2} (x))$

解题步骤 5.12

运用分配律。

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 5.13

将 $2$ 移到 $\sin^{2} (x)$ 的左侧。

$2 \cdot \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 5.14

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.15

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.15.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

解题步骤 5.15.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{2 + 2}$

解题步骤 5.15.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ 是一个恒等式

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