三角学示例

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)} = \frac{1 + 2 \cos (a) + (\cos^{2} (a))}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 1

从右边开始。

$\frac{1 + 2 \cos (a) + (\cos^{2} (a))}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 2

因数。

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解题步骤 2.1

去掉圆括号。

$\frac{1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 2.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 \cos (a) = 2 \cdot 1 \cdot \cos (a)$

解题步骤 2.2.3

重写多项式。

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 2.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (a)$ 。

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{1 - \cos^{2} (a)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{1^{2} - {\cos (a)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (a)$ 。

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{(1 + \cos (a)) (1 - \cos (a))}$

解题步骤 4.2

约去 ${(1 + \cos (a))}^{2}$ 和 $1 + \cos (a)$ 的公因数。

$\frac{1 + \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

解题步骤 5

将 $\frac{1 + \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ 重写为 $\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)}$ 。

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)} = \frac{1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$ 是一个恒等式

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