三角学示例

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)} = \sin (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

解题步骤 2.1.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

解题步骤 2.1.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}{\csc (x)}$

解题步骤 2.1.4

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\csc (x)}$

解题步骤 2.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 2.3

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.4

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.4.3

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.5

合并 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 中相反的项。

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解题步骤 2.5.1

按照 $\frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 重新排列因数。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.5.2

将 $- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 相加。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.5.3

将 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.6

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.6.1.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.6.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.6.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.6.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.6.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

解题步骤 2.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3

乘以 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \sin (x)$

解题步骤 2.6.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \sin (x)$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 2.8

使用勾股恒等式。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 2.9

约去 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 2.9.2

重写表达式。

$1 \sin (x)$

解题步骤 2.10

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x)$

解题步骤 3

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)} = \sin (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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