三角学示例

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.1.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.2.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.3

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ 。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.4

合并 $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ 中相反的项。

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解题步骤 2.4.1

按照 $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 重新排列因数。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.4.2

将 $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 相加。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 0 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1

乘以 $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.1.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3

乘以 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3.6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3.7

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.5.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.7

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.8

约去 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

约去公因数。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.8.2

重写表达式。

$1 + \tan^{2} (x)$

解题步骤 2.9

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 2.10

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$1 + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{\cos (x)}^{2} + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 是一个恒等式

三角学 示例

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