三角学示例

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (B)$ 。

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

解题步骤 2.2

对 $\csc (B)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

解题步骤 2.3

对 $\frac{\cos (B)}{\sin (B)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

解题步骤 2.4

对 $\frac{1}{\sin (B)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (B)} - 1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\sin (B)}^{2}$ .

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$ 乘以 $\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}}$ 。

$\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} \cdot \frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{{\sin (B)}^{2} (\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} (\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1)}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 ${\sin (B)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.2

约去 ${\sin (B)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

从 ${\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ 中分解出因数 ${\cos (B)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.1.2

从 ${\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ 中分解出因数 ${\cos (B)}^{2}$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.1.3

从 ${\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))$ 中分解出因数 ${\cos (B)}^{2}$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + {\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $- 1$ 移到 ${\sin (B)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3

将 $- 1 {\sin (B)}^{2}$ 重写为 $- {\sin (B)}^{2}$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.4

以因式分解的形式重写 $1 - {\sin (B)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1^{2} - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (B)$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} ((1 + \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1$ 移到 ${\sin (B)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

将 $- 1 {\sin (B)}^{2}$ 重写为 $- {\sin (B)}^{2}$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - {\sin (B)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

以因式分解的形式重写 $1 - {\sin (B)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} - {\sin (B)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (B)$ 。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

解题步骤 3.6

约去 $1 + \sin (B)$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

解题步骤 3.6.2

重写表达式。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - \sin (B))}{1 - \sin (B)}$

解题步骤 3.7

约去 $1 - \sin (B)$ 的公因数。

$\cos^{2} (B)$

解题步骤 4

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$ 是一个恒等式

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