三角学示例

\frac{\frac{1}{sin (x)} + 1}{\frac{1}{sin (x)} - 1} = {tan}^{2} (x) + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

从右边开始。

{tan}^{2} (x) + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

将

tan (x)

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

{(\frac{sin (x)}{cos (x)})}^{2} + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.2

对

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.3

将

tan (x)

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + 2 \frac{sin (x)}{cos (x)} sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.4

组合

2

$2$ 和

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.5

将

$\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.6

乘以

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.6.1

将

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以

$\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.6.2

对

$\cos (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.6.3

对

$\cos (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.6.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.6.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.7

将

$\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 2.8

对

$\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.9

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

从

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

从

$\sin^{2} (x)$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.2

从

$2 \sin (x)$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.3

从

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ 中分解出因数

$\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

运用分配律。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.2

乘以

$\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.2.2

对

$\sin (x)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.2.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.2.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.3

将

$2$ 移到

$\sin (x)$ 的左侧。

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.4

以因式分解的形式重写

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

使

$u = \sin (x)$ 。用

$u$ 代入替换所有出现的

$\sin (x)$ 。

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.4.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 4.3.4.2.1

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.4.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写多项式。

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.4.2.4

使用完全平方三项式法则对

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中

$a = u$ 和

$b = 1$ 。

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.4.3

使用

$\sin (x)$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

化简分母。

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 7

约去

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 和

$1 + \sin (x)$ 的公因数。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 8

将

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 重写为

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ 。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

解题步骤 9

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ 是一个恒等式

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