三角学示例

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{2}$ .

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{{\cos (x)}^{2} ({\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

解题步骤 3.3

约去 ${\cos (x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

将 ${\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ 重写为 ${(\cos (x) \cos (x))}^{2}$ 。

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 ${\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ 重写为 ${(\cos (x) \sin (x))}^{2}$ 。

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} - {(\cos (x) \sin (x))}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x) \cos (x)$ 和 $b = \cos (x) \sin (x)$ 。

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

化简。

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解题步骤 3.4.4.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{({\cos (x)}^{1} \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{({\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{({\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.2

从 ${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.4.4.2.1

从 ${\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.2.2

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.2.3

从 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.3

合并指数。

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解题步骤 3.4.4.3.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1 + 1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{2} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

从 ${\cos (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

从 ${\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.2

从 $- \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.3

从 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

合并指数。

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解题步骤 3.4.6.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 ${\cos (x)}^{2} \cdot 1$ 重写为 ${(\cos (x) \cdot 1)}^{2}$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\cos (x) \cdot 1)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x) \cdot 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

解题步骤 3.5.3

化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

解题步骤 3.5.3.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

解题步骤 3.6

约去 $\cos (x) + \sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

解题步骤 3.6.2

重写表达式。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)}$

解题步骤 3.7

约去 $\cos (x) - \sin (x)$ 的公因数。

$\cos^{2} (x)$

解题步骤 4

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$ 是一个恒等式

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