三角学示例

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan (x)}{\cos^{2} (x) - \cot (x)} = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan (x)}{\cos^{2} (x) - \cot (x)}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos^{2} (x) - \cot (x)}$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos^{2} (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \sin (x)$ .

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{{\sin (x)}^{2} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{\cos (x)}^{2} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ 乘以 $\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{\cos (x)}^{2} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{\cos (x) \sin (x) ({\sin (x)}^{2} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) ({\cos (x)}^{2} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \cos (x) (\sin (x)) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3.1.3

约去公因数。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3.1.4

重写表达式。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

解题步骤 3.3.6

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3.3.6.2

约去公因数。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3.3.6.3

重写表达式。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) (- \cos (x))}$

解题步骤 3.3.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

解题步骤 3.3.8

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

从 $\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{3}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1}) - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $- {\sin (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{3}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1}) + {\sin (x)}^{3} (- {\sin (x)}^{- 1})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

从 ${\sin (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1}) + {\sin (x)}^{3} (- {\sin (x)}^{- 1})$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{3}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1} - {\sin (x)}^{- 1})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1} - {\sin (x)}^{- 1}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{- 2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \sin (x)) - {\sin (x)}^{- 1})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- {\sin (x)}^{- 1}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{- 2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \sin (x)) + {\sin (x)}^{- 2} (- \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.3

从 ${\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \sin (x)) + {\sin (x)}^{- 2} (- \sin (x))$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{- 2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \sin (x) - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

乘以 $\cos (x) \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1} - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) {\sin (x)}^{2} - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

从 $\cos (x) {\sin (x)}^{2} - \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

从 $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\sin (x) (\cos (x) \sin (x)) - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.2

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\sin (x) (\cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.3

从 $\sin (x) (\cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\sin (x) (\cos (x) \sin (x) - 1)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} \sin (x) (\cos (x) \sin (x) - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

通过指数相加将 ${\sin (x)}^{- 2}$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

将 ${\sin (x)}^{- 2}$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} {\sin (x)}^{1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2 + 1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

$\frac{{\sin (x)}^{3} {\sin (x)}^{- 1} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

通过指数相加将 ${\sin (x)}^{3}$ 乘以 ${\sin (x)}^{- 1}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{3 - 1} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

从 $\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{3}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1}) - {\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

从 $- {\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{3}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1}) + {\cos (x)}^{3} (- {\cos (x)}^{- 1})}$

解题步骤 3.5.1.3

从 ${\cos (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1}) + {\cos (x)}^{3} (- {\cos (x)}^{- 1})$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{3}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1} - {\cos (x)}^{- 1})}$

解题步骤 3.5.2

从 $\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1} - {\cos (x)}^{- 1}$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1}$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{- 2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \cos (x)) - {\cos (x)}^{- 1})}$

解题步骤 3.5.2.2

从 $- {\cos (x)}^{- 1}$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{- 2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \cos (x)) + {\cos (x)}^{- 2} (- \cos (x)))}$

解题步骤 3.5.2.3

从 ${\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \cos (x)) + {\cos (x)}^{- 2} (- \cos (x))$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{- 2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \cos (x) - \cos (x)))}$

解题步骤 3.5.3

乘以 $\cos (x) \sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.5.3.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} ({\cos (x)}^{1} \cos (x) \sin (x) - \cos (x)))}$

解题步骤 3.5.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} \sin (x) - \cos (x)))}$

解题步骤 3.5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} ({\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) - \cos (x)))}$

解题步骤 3.5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} ({\cos (x)}^{2} \sin (x) - \cos (x)))}$

解题步骤 3.5.4

从 ${\cos (x)}^{2} \sin (x) - \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

从 ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) (\cos (x) \sin (x)) - \cos (x)))}$

解题步骤 3.5.4.2

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) (\cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1))}$

解题步骤 3.5.4.3

从 $\cos (x) (\cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) (\cos (x) \sin (x) - 1)))}$

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} \cos (x) (\cos (x) \sin (x) - 1))}$

解题步骤 3.5.5

通过指数相加将 ${\cos (x)}^{- 2}$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.5.5.1

将 ${\cos (x)}^{- 2}$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.5.5.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} {\cos (x)}^{1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}$

解题步骤 3.5.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2 + 1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}$

解题步骤 3.5.5.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}$

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} {\cos (x)}^{- 1} (\cos (x) \sin (x) - 1)}$

解题步骤 3.5.6

通过指数相加将 ${\cos (x)}^{3}$ 乘以 ${\cos (x)}^{- 1}$ 。

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解题步骤 3.5.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3 - 1} (\cos (x) \sin (x) - 1)}$

解题步骤 3.5.6.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}$

解题步骤 3.6

约去 $\cos (x) \sin (x) - 1$ 的公因数。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 $\tan^{2} (x)$ 。

$\tan^{2} (x)$

解题步骤 5

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan (x)}{\cos^{2} (x) - \cot (x)} = \tan^{2} (x)$ 是一个恒等式

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