三角学示例

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

解题步骤 2

因为 $\cot (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\cot (- x)$ 重写成 $- \cot (x)$ 。

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

解题步骤 3

因为 $\cos (- x)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- x)$ 重写成 $\cos (x)$ 。

$- \cot (x) \cos (x) + \sin (- x)$

解题步骤 4

因为 $\sin (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- x)$ 重写成 $- \sin (x)$ 。

$- \cot (x) \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 5.2

乘以 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 5.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 5.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 5.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 5.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 6

将勾股恒等式反过来使用。

$- \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 7.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x)$

解题步骤 7.2

要将 $- \sin (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.3

组合 $- \sin (x)$ 和 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

从 $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

从 $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.1.2

从 $- \sin (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.1.3

从 $- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 7.5.2.1

运用分配律。

$\frac{- (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.2.2

运用分配律。

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.2.3

运用分配律。

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.5.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3.1.2

将 $- \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3.1.3

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3.1.4

乘以 $\sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 7.5.3.1.4.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3.1.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3.2

将 $- \sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{- (1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.4

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 7.5.4.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.5

将 $- {\sin (x)}^{2}$ 和 ${\sin (x)}^{2}$ 相加。

$\frac{- (1 + 0)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

解题步骤 7.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 8

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 9

合并。

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

解题步骤 10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

解题步骤 11

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

解题步骤 12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 13

现在，考虑等式的右边。

$- \csc (x)$

解题步骤 14

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$- \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 15

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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