三角学示例

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.4

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.5

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{7 π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.7

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.8

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.9

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 4.1.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 4.1.11

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 4.1.12

乘以 $- \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 4.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 1 \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.12.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.12.3

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2

合并 $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1

按照 $- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ 和 $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ 重新排列因数。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

解题步骤 4.2.2

将 $- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ 和 $\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ 相加。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 0 + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2} + \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.4

将 $\cos (x) \sqrt{2}$ 和 $\cos (x) \sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.5.2

用 $\cos (x) \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) \sqrt{2}$

解题步骤 5

将 $\cos (x) \sqrt{2}$ 中的因式重新排序。

$\sqrt{2} \cos (x)$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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