三角学示例

$\cos (x - \frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) + \sin (x))$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos (x - \frac{5 π}{4})$

解题步骤 2

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (x) \cos (\frac{5 π}{4}) + \sin (x) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\cos (x) (- \cos (\frac{π}{4})) + \sin (x) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (x) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 3.3

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 3.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) (- \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 3.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 3.6

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4

将 $- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

解题步骤 5

现在，考虑等式的右边。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) + \sin (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

解题步骤 6.2

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

解题步骤 6.3

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.4

将 $- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos (x - \frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) + \sin (x))$ 是一个恒等式

三角学 示例

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