三角学示例

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

解题步骤 2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

解题步骤 3

使用两角和公式。

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.3

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \sin (\frac{π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.6

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.6.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.7

组合 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.9

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.10

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.11

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (x)$

解题步骤 4.1.12

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

解题步骤 4.1.13

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3

合并 $\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1

按照 $\sqrt{2} \cos (x)$ 和 $- \cos (x) \sqrt{2}$ 重新排列因数。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.2

从 $\sqrt{2} \cos (x)$ 中减去 $\sqrt{2} \cos (x)$ 。

$\frac{0 + \sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.3

将 $0$ 和 $\sqrt{2} \sin (x)$ 相加。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.4

按照 $\sqrt{2} \sin (x)$ 和 $- \sin (x) \sqrt{2}$ 重新排列因数。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \sin (x)}{2}$

解题步骤 4.3.5

从 $\sqrt{2} \sin (x)$ 中减去 $\sqrt{2} \sin (x)$ 。

$\frac{0}{2}$

解题步骤 4.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0$

解题步骤 5

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$ 是一个恒等式

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