三角学示例

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b)$

解题步骤 2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot \cos (a - b)$

解题步骤 3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b))$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

因为 $\cos (- b)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- b)$ 重写成 $\cos (b)$ 。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b))$

解题步骤 4.1.2

因为 $\sin (- b)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- b)$ 重写成 $- \sin (b)$ 。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)))$

解题步骤 4.1.3

乘以 $- \sin (a) (- \sin (b))$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\sin (a)$ 乘以 $1$ 。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.3

合并 $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1

按照 $\cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b))$ 和 $- \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b))$ 重新排列因数。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.3.2

从 $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ 中减去 $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ 。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + 0 - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.3.3

将 $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ 和 $0$ 相加。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

乘以 $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ 。

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解题步骤 4.4.1.1

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (a) \cos (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4.1.2

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (a)}^{1 + 1} \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4.1.5

对 $\cos (b)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4.1.6

对 $\cos (b)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos^{1} (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4.1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (a) {\cos (b)}^{1 + 1} - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4.1.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

解题步骤 4.4.2

乘以 $- \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin (a)) \sin (b) \sin (b)$

解题步骤 4.4.2.2

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)) \sin (b) \sin (b)$

解题步骤 4.4.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - {\sin (a)}^{1 + 1} \sin (b) \sin (b)$

解题步骤 4.4.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin (b) \sin (b)$

解题步骤 4.4.2.5

对 $\sin (b)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin (b))$

解题步骤 4.4.2.6

对 $\sin (b)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin^{1} (b))$

解题步骤 4.4.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) {\sin (b)}^{1 + 1}$

解题步骤 4.4.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

解题步骤 5

将勾股恒等式反过来使用。

$(1 - \sin^{2} (a)) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

解题步骤 6

运用分配律。

$1 \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

解题步骤 7

将 ${\cos (b)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

解题步骤 8

使用勾股恒等式。

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解题步骤 8.1

从 $- \sin^{2} (a) \cos^{2} (b)$ 中分解出因数 $- \sin^{2} (a)$ 。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

解题步骤 8.2

从 $- \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$ 中分解出因数 $- \sin^{2} (a)$ 。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$

解题步骤 8.3

从 $- \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$ 中分解出因数 $- \sin^{2} (a)$ 。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b))$

解题步骤 8.4

重新整理项。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b))$

解题步骤 8.5

使用勾股恒等式。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cdot 1$

解题步骤 9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

解题步骤 10

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$ 是一个恒等式

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