三角学示例

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1)$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2) (2 \tan (x) + 1)$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

解题步骤 2.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$(\sin (x) + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

解题步骤 2.4

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$(\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) (2 \tan (x) + 1)$

解题步骤 2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

解题步骤 2.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

解题步骤 2.6

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$ 。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1) + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

乘以 $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.7.1.1.1

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.1.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.3.1

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.3.2

约去公因数。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.3.3

重写表达式。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$

解题步骤 2.7.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.7.2

将 $\sin (x)$ 和 $4 \sin (x)$ 相加。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 (1^{2} - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.2

要将 $5 \sin (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.4.3.1

运用分配律。

$\frac{2 (1 - \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.3.2

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.3.3

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.4.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.1.4

乘以 $2 \cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.4.4.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.1.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.2

将 $- 2 \cos (x)$ 和 $2 \cos (x)$ 相加。

$\frac{2 + 0 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.4.4.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.5

要将 $2 \cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4.7

化简分子。

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5

现在，考虑等式的右边。

$2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

解题步骤 6

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$2 \frac{1}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

解题步骤 7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

解题步骤 8

将 $5 \sin (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1}$

解题步骤 9

加上分数。

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解题步骤 9.1

要将 $\frac{5 \sin (x)}{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{5 \sin (x)}{1}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 10

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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