三角学示例

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

解题步骤 2.1.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2})$

解题步骤 2.1.3

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)})$

解题步骤 2.1.4

一的任意次幂都为一。

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)})$

解题步骤 2.1.5

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$1 + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4

乘以 $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 2.4.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3

将勾股恒等式反过来使用。

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 $\csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x)$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$ 是一个恒等式

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