三角学示例

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A)$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 $\cot (A)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ 。

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

解题步骤 2.3

要将 $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ 。

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

解题步骤 2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ 的形式。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ 乘以 $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ 。

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ 乘以 $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ 。

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.4.3

重新排序 $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ 的因式。

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

乘以 $\sin (A) \sin (A)$ 。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $\sin (A)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.1.2

对 $\sin (A)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (A) \sin^{1} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (A)}^{1 + 1} - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) \cdot 1 - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.4

乘以 $- \cos (A) (- \cos (A))$ 。

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解题步骤 2.6.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + 1 \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.4.2

将 $\cos (A)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.4.3

对 $\cos (A)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.4.4

对 $\cos (A)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos^{1} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + {\cos (A)}^{1 + 1}}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.5

以因式分解的形式重写 $\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)$ 。

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解题步骤 2.6.5.1

重新整理项。

$\frac{- \cos (A) + \sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.6.5.2

使用勾股恒等式。

$\frac{- \cos (A) + 1}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.7

约去 $- \cos (A) + 1$ 和 $1 - \cos (A)$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1

重新排序项。

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.7.2

约去公因数。

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

解题步骤 2.7.3

重写表达式。

$\frac{1}{\sin (A)}$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sin (A)}$ 重写为 $\csc (A)$ 。

$\csc (A)$

解题步骤 4

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$ 是一个恒等式

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