三角学示例

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

解题步骤 2

减分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ 。

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ 。

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ 乘以 $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ 。

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ 乘以 $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ 。

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ 的因式。

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) - \sec (x) (- \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 3.1.3

乘以 $- \sec (x) (- \cot (x))$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + 1 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 3.2

从 $\sec (x) \csc (x)$ 中减去 $\sec (x) \csc (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \cot (x) + 0 + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 3.3

将 $\sec (x) \cot (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sec (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 3.4

将 $\sec (x) \cot (x)$ 和 $\sec (x) \cot (x)$ 相加。

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{1}$

解题步骤 6

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 6.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \cot (x)}{1}$

解题步骤 6.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

用 $2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 除以 $1$ 。

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.3.2

重写表达式。

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 7.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{2}{\sin (x)}$

解题步骤 8

将 $\frac{2}{\sin (x)}$ 重写为 $2 \csc (x)$ 。

$2 \csc (x)$

解题步骤 9

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$ 是一个恒等式

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