三角学示例

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

从右边开始。

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.2

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 2.3

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 2.4

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

化简每一项。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

减分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.2

要将 $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.3

重新排序 $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 的因式。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ 重写为 $\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)}$ 。

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)}$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

三角学示例