三角学示例

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

解题步骤 2

减分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 。

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ 。

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 。

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ 。

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ 的因式。

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.2

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.3

乘以 $\csc (x) (- \csc (x))$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.3.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.4

运用分配律。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.6

乘以 $- \csc (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.6.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.1.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.2

从 $\csc (x)$ 中减去 $\csc (x)$ 。

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.3

将 $- {\csc (x)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 3.4

从 $- {\csc (x)}^{2}$ 中减去 ${\csc (x)}^{2}$ 。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 和 $- \csc^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

解题步骤 5.2

从 $- \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4

从 $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

解题步骤 5.5

使用勾股恒等式。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

解题步骤 6

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 6.1

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

解题步骤 6.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.3

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 6.4

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将分子乘以分母的倒数。

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 7.2

一的任意次幂都为一。

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 7.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 7.4

约去 ${\sin (x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

将 $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 7.4.2

从 $- {\sin (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{2}$ 。

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 7.4.3

约去公因数。

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 7.4.4

重写表达式。

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 7.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 7.6

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8

将 $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 $2 \sec^{2} (x)$ 。

$2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 9

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

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