三角学示例

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

解题步骤 2

将 $\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 。

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

解题步骤 3

合并。

$\frac{\cot (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{\cot (x) \cdot 1 + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 4.2

将 $\cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 4.3

将 $\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))$ 中的因式重新排序。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ 。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

解题步骤 5.2

化简并合并同类项。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

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解题步骤 6.1

将 $1$ 和 $- \csc^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

解题步骤 6.2

从 $- \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

解题步骤 6.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 6.4

从 $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

解题步骤 6.5

使用勾股恒等式。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

解题步骤 7

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 7.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

解题步骤 7.3

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

解题步骤 7.4

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

解题步骤 7.5

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.2

乘以 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.3

要将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${\sin (x)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 8.4.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.6

从 $\cos (x) \sin (x) - \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 8.6.1

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.6.2

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.6.3

从 $\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

解题步骤 8.7

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.1

将 $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

解题步骤 8.7.2

从 ${\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 8.7.3

约去公因数。

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 8.7.4

重写表达式。

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

解题步骤 8.8

约去 ${\sin (x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.8.1

从 $- {\sin (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{2}$ 。

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

解题步骤 8.8.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

解题步骤 8.8.3

重写表达式。

$(\sin (x) - 1) \frac{- 1}{\cos (x)}$

解题步骤 8.9

将负号移到分数的前面。

$(\sin (x) - 1) (- \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 8.10

运用分配律。

$\sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 8.11

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 8.12

乘以 $- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x)}$

解题步骤 10

重新排序项。

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 11

现在，考虑等式的右边。

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

解题步骤 12

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 12.1

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

解题步骤 12.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 13.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 13.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 13.4

将 $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 重写为 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 15

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$ 是一个恒等式

三角学 示例

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