三角学示例

$\cos^{2} (5 x) - \sin^{2} (5 x) = \cos (10 x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\cos^{2} (5 x) - \sin^{2} (5 x)$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (5 x)$ 和 $b = \sin (5 x)$ 。

$(\cos (5 x) + \sin (5 x)) (\cos (5 x) - \sin (5 x))$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (5 x) + \sin (5 x)) (\cos (5 x) - \sin (5 x))$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\cos (5 x) (\cos (5 x) - \sin (5 x)) + \sin (5 x) (\cos (5 x) - \sin (5 x))$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\cos (5 x) \cos (5 x) + \cos (5 x) (- \sin (5 x)) + \sin (5 x) (\cos (5 x) - \sin (5 x))$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\cos (5 x) \cos (5 x) + \cos (5 x) (- \sin (5 x)) + \sin (5 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

解题步骤 2.3

合并 $\cos (5 x) \cos (5 x) + \cos (5 x) (- \sin (5 x)) + \sin (5 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.1

按照 $\cos (5 x) (- \sin (5 x))$ 和 $\sin (5 x) \cos (5 x)$ 重新排列因数。

$\cos (5 x) \cos (5 x) - \cos (5 x) \sin (5 x) + \cos (5 x) \sin (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

解题步骤 2.3.2

将 $- \cos (5 x) \sin (5 x)$ 和 $\cos (5 x) \sin (5 x)$ 相加。

$\cos (5 x) \cos (5 x) + 0 + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

解题步骤 2.3.3

将 $\cos (5 x) \cos (5 x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (5 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

解题步骤 2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1

乘以 $\cos (5 x) \cos (5 x)$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $\cos (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (5 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

解题步骤 2.4.1.2

对 $\cos (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

解题步骤 2.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (5 x)}^{1 + 1} + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

解题步骤 2.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

解题步骤 2.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (5 x) - \sin (5 x) \sin (5 x)$

解题步骤 2.4.3

乘以 $- \sin (5 x) \sin (5 x)$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

对 $\sin (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (5 x) - (\sin^{1} (5 x) \sin (5 x))$

解题步骤 2.4.3.2

对 $\sin (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (5 x) - (\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x))$

解题步骤 2.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (5 x) - {\sin (5 x)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.4.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (5 x) - \sin^{2} (5 x)$

解题步骤 2.5

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 (5 x))$

解题步骤 2.6

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\cos (10 x)$

解题步骤 3

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cos^{2} (5 x) - \sin^{2} (5 x) = \cos (10 x)$ 是一个恒等式

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