三角学示例

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 \tan^{2} (x) + 1$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

解题步骤 2.3

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

解题步骤 2.4

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

组合 $2$ 和 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

解题步骤 3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${\cos (x)}^{4}$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} + 1$

解题步骤 3.3.2

通过指数相加将 ${\cos (x)}^{2}$ 乘以 ${\cos (x)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

解题步骤 3.5

从 ${\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

从 ${\sin (x)}^{4}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

解题步骤 3.5.2

从 $2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

解题步骤 3.5.3

从 ${\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})$ 中分解出因数 ${\sin (x)}^{2}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

解题步骤 3.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

解题步骤 3.8

化简分子。

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{4} (x)}$

解题步骤 4

使用勾股恒等式。

$\frac{1^{2}}{\cos^{4} (x)}$

解题步骤 5

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 重写为 $\sec^{4} (x)$ 。

$\sec^{4} (x)$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$ 是一个恒等式

三角学 示例

三角学示例