三角学示例

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)} = \frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (y)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

解题步骤 2.3

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (y)}$

解题步骤 2.4

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (y)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \cos (y)$ .

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$ 乘以 $\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{\cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $\cos (x) \cos (y)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (\cos (y)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.3.2

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) \cos (y) \frac{- \sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (y) \cos (x) \frac{- \sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

从 $\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 中分解出因数 $\cos (x) \cos (y)$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $\cos (x) \cos (y) \cdot 1$ 中分解出因数 $\cos (x) \cos (y)$ 。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $\cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 中分解出因数 $\cos (x) \cos (y)$ 。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$ 中分解出因数 $\cos (x) \cos (y)$ 。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)})}$

解题步骤 3.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)})}$

解题步骤 3.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) \frac{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

解题步骤 3.4.5

合并指数。

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解题步骤 3.4.5.1

组合 $\frac{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)} \cos (y)}$

解题步骤 3.4.5.2

组合 $\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$ 和 $\cos (y)$ 。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

解题步骤 3.4.6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1

约去公因数。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

解题步骤 3.4.6.2

重写表达式。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (y)}{\cos (y)}}$

解题步骤 3.4.7

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.7.1

约去公因数。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (y)}{\cos (y)}}$

解题步骤 3.4.7.2

用 $\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\cos (y) \sin (x) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $- \cos (x) \sin (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 4.2

从 $\cos (y) \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 4.3

从 $- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 4.4

将 $- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ 重写为 $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ 。

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 5

将 $- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ 重写为 $\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)} = \frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ 是一个恒等式

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